Exercice 10

1. Soit $x \in \mathrm{Ker}\, f$. Alors $f(x)=0_{F}$, donc $(g \circ f)(x)=g(0_{F})=0_{G}$, la dernière égalité venant de la linéarité de $g$.

Soit $z \in \mathrm{Im}\,(g \circ f)$. Il existe $x \in E$ tel que $z=g\big(f(x)\big)$, donc $z$ est l'image par $g$ du vecteur $f(x) \in F$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f \subset \mathrm{Ker}\,(g \circ f) \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\,(g \circ f) \subset \mathrm{Im}\, g}$$

2. On enchaîne les équivalences : $$g \circ f = 0 \iff \forall x \in E, \; g\big(f(x)\big)=0_{G} \iff \forall x \in E, \; f(x) \in \mathrm{Ker}\, g \iff \mathrm{Im}\, f \subset \mathrm{Ker}\, g$$

3. Injectivité. Soient $x$, $y \in E$ tels que $f(x)=f(y)$. En appliquant $g$, il vient $(g \circ f)(x)=(g \circ f)(y)$, donc $x=y$.

Surjectivité. Soit $z \in G$. Comme $g \circ f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $g\big(f(x)\big)=z$. Le vecteur $y=f(x)$ de $F$ vérifie $g(y)=z$. $$\boxed{g \circ f \text{ injective} \Rightarrow f \text{ injective} \qquad\text{et}\qquad g \circ f \text{ surjective} \Rightarrow g \text{ surjective}}$$ C'est exactement l'exercice 12 du chapitre 4 : une application linéaire est en particulier un morphisme de groupes.

4. La question 2, appliquée avec $g=f$, donne : $$\boxed{f \circ f = 0 \iff \mathrm{Im}\, f \subset \mathrm{Ker}\, f}$$ Exemple. Posons $f(x\,;y)=(y\,;0)$ sur $\mathbb{R}^{2}$. Alors $f$ est linéaire, non nulle, et : $$(f \circ f)(x\,;y)=f(y\,;0)=(0\,;0)$$ On a ici $\mathrm{Im}\, f=\mathrm{Vect}\big((1\,;0)\big)=\mathrm{Ker}\, f$ : l'inclusion est même une égalité.