Exercice 11

1. Soient $\alpha \in K$ et $(x\,;y) \in E^{2}$. En utilisant successivement la définition des opérations point par point, puis la linéarité de $f$ et de $g$ : $$\begin{aligned} (\lambda f+g)(\alpha x+y) &= \lambda\,f(\alpha x+y)+g(\alpha x+y)\\ &= \lambda\big(\alpha f(x)+f(y)\big)+\alpha g(x)+g(y)\\ &= \alpha\big(\lambda f(x)+g(x)\big)+\big(\lambda f(y)+g(y)\big)\\ &= \alpha\,(\lambda f+g)(x)+(\lambda f+g)(y) \end{aligned}$$

2. On a $\mathcal{L}(E\,;F) \subset \mathcal{F}(E\,;F)$, l'application nulle est linéaire, et la question 1 donne la stabilité par $\lambda f+g$ : c'est la caractérisation du chapitre 6. $$\boxed{\mathcal{L}(E\,;F) \text{ est un sous-espace vectoriel de } \mathcal{F}(E\,;F).}$$

3. On additionne coordonnée par coordonnée : $$(f+g)(x\,;y)=(x\,;0)+(0\,;y)=(x\,;y) \qquad\text{donc}\qquad \boxed{f+g=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^{2}}}$$

4. On compose dans les deux sens : $$(f \circ g)(x\,;y)=f(0\,;y)=(0\,;0) \qquad\text{et}\qquad (g \circ f)(x\,;y)=g(x\,;0)=(0\,;0)$$