Exercice 12

1. La dérivation est linéaire, et pour $M$ : $M(\lambda P+Q)(x)=x\big(\lambda P(x)+Q(x)\big)=\lambda\,M(P)(x)+M(Q)(x)$. De plus, le produit d'un polynôme par $x$ reste un polynôme.

On calcule alors, pour toute fonction polynomiale $P$ : $$(D \circ M)(P)=\big(x \mapsto xP(x)\big)'=P+\big(x \mapsto xP'(x)\big) \qquad\text{et}\qquad (M \circ D)(P)=\big(x \mapsto xP'(x)\big)$$

2. On compose dans les deux sens : $$(f \circ g)(x\,;y)=f(x\,;0)=(0\,;0) \qquad\text{et}\qquad (g \circ f)(x\,;y)=g(y\,;0)=(y\,;0)$$

$$\boxed{f \circ g = 0 \neq g \circ f}$$ Ces deux exemples montrent que l'anneau $\mathcal{L}(E)$ n'est pas commutatif, conformément à la proposition 3.

3. En développant dans l'anneau $\mathcal{L}(E)$ : $$\boxed{(f+g) \circ (f+g)=f \circ f+f \circ g+g \circ f+g \circ g}$$

$$\boxed{\text{On retrouve } f^{2}+2\,f \circ g+g^{2} \text{ si et seulement si } f \circ g = g \circ f.}$$ C'est exactement la situation rencontrée au chapitre 5 : les identités remarquables ne valent que pour des éléments qui commutent.