Exercice 13

1. Soient $\lambda \in K$ et $(y\,;y') \in E^{2}$. Posons $x=f^{-1}(y)$ et $x'=f^{-1}(y')$. Par linéarité de $f$ : $$f(\lambda x+x')=\lambda f(x)+f(x')=\lambda y+y'$$ En appliquant $f^{-1}$ aux deux membres : $$f^{-1}(\lambda y+y')=\lambda x+x'=\lambda f^{-1}(y)+f^{-1}(y')$$

2. On a $\mathrm{GL}(E) \subset \mathcal{S}(E)$, et $\mathrm{Id}_{E}$ est un automorphisme. Soient $f$, $g \in \mathrm{GL}(E)$. D'après la question 1, $g^{-1}$ est linéaire, et elle est bijective ; la proposition 3 donne alors que $f \circ g^{-1}$ est linéaire, et c'est une bijection. $$\boxed{\mathrm{GL}(E) \text{ est un sous-groupe de } \mathcal{S}(E).}$$

3. Il suffit de vérifier que $f^{-1} \circ g^{-1}$ se comporte comme la réciproque de $g \circ f$ : $$(g \circ f) \circ \big(f^{-1} \circ g^{-1}\big)=g \circ \big(f \circ f^{-1}\big) \circ g^{-1}=g \circ g^{-1}=\mathrm{Id}_{E}$$ et le calcul dans l'autre ordre est analogue. $$\boxed{(g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}}$$

4. L'exercice 2 a établi que cette application est un automorphisme, avec : $$\boxed{f \in \mathrm{GL}(\mathbb{R}^{2}) \qquad\text{et}\qquad f^{-1}(a\,;b)=\left(\frac{3a+b}{7} \,;\, \frac{2b-a}{7}\right)}$$ Vérification : $f^{-1}\big(f(1\,;0)\big)=f^{-1}(2\,;1)=\left(\frac{7}{7} \,;\, \frac{0}{7}\right)=(1\,;0)$ ✓