ExerciceMaths approfondies, chapitre 7 — Endomorphismes · Structure de l'ensemble des endomorphismesExercice 14DémonstrationCalculPour λ∈K\lambda \in K, on appelle homothétie de rapport λ\lambda l'application hλ:x↦λ⋅xh_{\lambda} : x \mapsto \lambda \cdot x de EE dans EE.1. Démontrer que hλ∈ℒ(E)h_{\lambda} \in \mathcal{L}(E), et que hλ∘hμ=hλμh_{\lambda} \circ h_{\mu}=h_{\lambda\mu}.2. Démontrer que hλ∘f=f∘hλh_{\lambda} \circ f = f \circ h_{\lambda} pour tout f∈ℒ(E)f \in \mathcal{L}(E).3. Déterminer Ker hλ\mathrm{Ker}\, h_{\lambda} et Im hλ\mathrm{Im}\, h_{\lambda} selon la valeur de λ\lambda, puis à quelle condition hλ∈GL(E)h_{\lambda} \in \mathrm{GL}(E).4. Pour quelles valeurs de λ\lambda l'homothétie hλh_{\lambda} est-elle un projecteur ? une symétrie ?Corrigé1. Pour α∈K\alpha \in K et (x ;y)∈E2(x\,;y) \in E^{2} : hλ(αx+y)=λ⋅(αx+y)=α (λ⋅x)+λ⋅y=α hλ(x)+hλ(y)h_{\lambda}(\alpha x+y)=\lambda \cdot (\alpha x+y)=\alpha\,(\lambda \cdot x)+\lambda \cdot y=\alpha\,h_{\lambda}(x)+h_{\lambda}(y) et l'axiome A de la loi externe donne : (hλ∘hμ)(x)=λ⋅(μ⋅x)=(λμ)⋅x=hλμ(x)\big(h_{\lambda} \circ h_{\mu}\big)(x)=\lambda \cdot (\mu \cdot x)=(\lambda\mu) \cdot x=h_{\lambda\mu}(x)hλ∈ℒ(E)ethλ∘hμ=hλμ\boxed{h_{\lambda} \in \mathcal{L}(E) \qquad\text{et}\qquad h_{\lambda} \circ h_{\mu}=h_{\lambda\mu}}2. Soit f∈ℒ(E)f \in \mathcal{L}(E). Pour tout x∈Ex \in E, l'homogénéité de ff donne : (hλ∘f)(x)=λ⋅f(x)=f(λ⋅x)=(f∘hλ)(x)\big(h_{\lambda} \circ f\big)(x)=\lambda \cdot f(x)=f(\lambda \cdot x)=\big(f \circ h_{\lambda}\big)(x)hλ commute avec tout endomorphisme de E.\boxed{h_{\lambda} \text{ commute avec tout endomorphisme de } E.}3. Si λ=0\lambda=0, alors h0=0h_{0}=0. Sinon, la question 1 donne hλ∘h1/λ=h1=IdEh_{\lambda} \circ h_{1/\lambda}=h_{1}=\mathrm{Id}_{E}. Si λ=0 : Ker h0=E et Im h0={0E}.Si λ≠0 : Ker hλ={0E}, Im hλ=E, et hλ∈GL(E) avec hλ−1=h1/λ.\boxed{\begin{array}{l} \text{Si } \lambda=0 \;:\; \mathrm{Ker}\, h_{0}=E \text{ et } \mathrm{Im}\, h_{0}=\{0_{E}\}. \\[1mm] \text{Si } \lambda \neq 0 \;:\; \mathrm{Ker}\, h_{\lambda}=\{0_{E}\}, \; \mathrm{Im}\, h_{\lambda}=E, \text{ et } h_{\lambda} \in \mathrm{GL}(E) \text{ avec } h_{\lambda}^{-1}=h_{1/\lambda}. \end{array}}4. On suppose E≠{0E}E \neq \{0_{E}\}. L'égalité hλ∘hλ=hλ2h_{\lambda} \circ h_{\lambda}=h_{\lambda^{2}} donne : hλ projecteur ⟺ λ2=λ ⟺ λ∈{0 ;1}h_{\lambda} \text{ projecteur} \iff \lambda^{2}=\lambda \iff \lambda \in \{0 \,;1\}hλ symeˊtrie ⟺ λ2=1 ⟺ λ∈{−1 ;1}h_{\lambda} \text{ symétrie} \iff \lambda^{2}=1 \iff \lambda \in \{-1 \,;1\}Les seules homotheˊties qui sont des projecteurs sont 0 et IdE.Les seules qui sont des symeˊtries sont IdE et −IdE.\boxed{\begin{array}{l} \text{Les seules homothéties qui sont des projecteurs sont } 0 \text{ et } \mathrm{Id}_{E}. \\[1mm] \text{Les seules qui sont des symétries sont } \mathrm{Id}_{E} \text{ et } -\mathrm{Id}_{E}. \end{array}}Énoncé PDF, p. 4Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe coursDans l'édificeAnneauxSommes directes, supplémentaires, projecteursApplications linéairesThèmescomposition, projecteurs, symétries, rotations et homothétiesNotionssupplémentaire← Exercice 13Exercice 15 →
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