ExerciceMaths approfondies, chapitre 7 — Endomorphismes · Projecteurs et symétries

Exercice 15

DémonstrationCalcul

Le plan ci-dessous est muni de deux droites vectorielles $D$ et $\Delta$ . Un vecteur $x$ y est représenté, ainsi que deux vecteurs $u$ et $v$ obtenus à partir de $x$ : l'un par le projecteur $p$ sur $D$ parallèlement à $\Delta$ , l'autre par la symétrie $s$ associée.

1. Lire les coordonnées de $x$ , $u$ et $v$ .

2. Identifier lequel de $u$ et $v$ est $p(x)$ , et lequel est $s(x)$ . Justifier.

3. Vérifier numériquement la relation $s(x)=2p(x)-x$ de la proposition 4.

4. Déterminer $\mathrm{Ker}\, p$ et $\mathrm{Im}\, p$ , ainsi que $\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})$ et $\mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})$ .

Corrigé

1. On lit directement sur le quadrillage : $\boxed{x=(3\,;4) \qquad u=(4\,;2) \qquad v=(5\,;0)}$

2. L'image d'un projecteur sur $D$ est contenue dans $D$ . Or $u=(4\,;2)=2 \times (2\,;1)$ appartient à $D$ , tandis que $v=(5\,;0)$ n'y appartient pas.

On vérifie de plus que $x-u=(-1\,;2)$ dirige $\Delta$ : le vecteur $u$ est bien obtenu à partir de $x$ en se déplaçant parallèlement à $\Delta$ jusqu'à rencontrer $D$ . $\boxed{u=p(x) \qquad\text{et}\qquad v=s(x)}$

3. On applique la relation aux coordonnées lues : $2\,p(x)-x=2\,(4\,;2)-(3\,;4)=(8-3 \,;\, 4-4)=(5\,;0)=s(x)$

\boxed{\text{La relation } s=2p-\mathrm{Id} \text{ est bien vérifiée.}}

4. Le noyau d'un projecteur est la direction parallèlement à laquelle il projette, et son image est le sous-espace sur lequel il projette. La proposition 4 identifie ensuite les deux sous-espaces caractéristiques de $s$ . $\boxed{\mathrm{Ker}\, p=\Delta=\mathrm{Vect}\big((-1\,;2)\big) \qquad \mathrm{Im}\, p=D=\mathrm{Vect}\big((2\,;1)\big)}$

\boxed{\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})=\mathrm{Im}\, p=D \qquad \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})=\mathrm{Ker}\, p=\Delta}

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