Exercice 16

A. Projecteurs.

1. $p\big(p(x\,;y\,;z)\big)=p(x\,;y\,;0)=(x\,;y\,;0)=p(x\,;y\,;z)$ : c'est un projecteur. Son noyau est l'ensemble des $(0\,;0\,;z)$, son image le plan $z=0$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, p=\mathrm{Vect}\big((0\,;0\,;1)\big) \qquad \mathrm{Im}\, p=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;0)\,;(0\,;1\,;0)\big)}$$ Ces deux sous-espaces sont bien supplémentaires : $(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;0)+(0\,;0\,;z)$, de façon unique.

2. $p\big(p(x\,;y)\big)=p\left(\dfrac{x+y}{2} \,;\, \dfrac{x+y}{2}\right)=\left(\dfrac{x+y}{2} \,;\, \dfrac{x+y}{2}\right)=p(x\,;y)$ : c'est un projecteur. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, p=\mathrm{Vect}\big((1\,;-1)\big) \qquad \mathrm{Im}\, p=\mathrm{Vect}\big((1\,;1)\big)}$$ Deux droites distinctes du plan sont supplémentaires ✓

3. $p\big(p(x\,;y\,;z)\big)=p(x+z \,;\, y+z \,;\, 0)=(x+z \,;\, y+z \,;\, 0)=p(x\,;y\,;z)$ : c'est un projecteur.

Son noyau est donné par $x+z=0$ et $y+z=0$, soit $(x\,;y\,;z)=t\,(-1\,;-1\,;1)$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, p=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;-1)\big) \qquad \mathrm{Im}\, p=\big\{(a\,;b\,;c) \;\big|\; c=0\big\}}$$ Vérification du théorème 2 : $(x\,;y\,;z)=(x+z \,;\, y+z \,;\, 0)+z\,(-1\,;-1\,;1)$, le second terme appartenant à $\mathrm{Ker}\, p$ ✓

4. $f\big(f(x\,;y)\big)=f(x\,;2y)=(x\,;4y)$, qui diffère de $f(x\,;y)=(x\,;2y)$ dès que $y \neq 0$. $$\boxed{f \text{ n'est pas un projecteur.}}$$

B. Symétries.

1. $s\big(s(x\,;y)\big)=s(y\,;x)=(x\,;y)$ : c'est une symétrie. Les invariants vérifient $y=x$, les vecteurs opposés à leur image vérifient $y=-x$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})=\mathrm{Vect}\big((1\,;1)\big) \qquad \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})=\mathrm{Vect}\big((1\,;-1)\big)}$$

2. $s\big(s(x\,;y\,;z)\big)=s(x\,;y\,;-z)=(x\,;y\,;z)$ : c'est une symétrie. Les invariants vérifient $-z=z$, donc $z=0$ ; les autres vérifient $x=-x$ et $y=-y$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})=\big\{(x\,;y\,;0)\big\} \qquad \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})=\mathrm{Vect}\big((0\,;0\,;1)\big)}$$

3. $s\big(s(x\,;y)\big)=s(x+2y \,;\, -y)=\big(x+2y-2y \,;\, y\big)=(x\,;y)$ : c'est une symétrie. Les invariants vérifient $-y=y$, donc $y=0$ ; les autres vérifient $x+2y=-x$, soit $y=-x$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})=\mathrm{Vect}\big((1\,;0)\big) \qquad \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})=\mathrm{Vect}\big((1\,;-1)\big)}$$

4. $g\big(g(x\,;y)\big)=g(2x\,;-y)=(4x\,;y)$, qui diffère de $(x\,;y)$ dès que $x \neq 0$. $$\boxed{g \text{ n'est pas une symétrie.}}$$