Exercice 17

1. On développe dans l'anneau $\mathcal{L}(E)$, en utilisant $p \circ p = p$ : $$q \circ q=(\mathrm{Id}-p) \circ (\mathrm{Id}-p)=\mathrm{Id}-p-p+p \circ p=\mathrm{Id}-2p+p=\mathrm{Id}-p=q$$

2. Noyau de $q$. On a $q(x)=0_{E}$ si et seulement si $x=p(x)$, c'est-à-dire si $x$ est invariant par $p$. Or le théorème 2 identifie l'ensemble des vecteurs invariants par $p$ à $\mathrm{Im}\, p$.

Image de $q$. Pour tout $x$, $p\big(q(x)\big)=p(x)-p\big(p(x)\big)=0_{E}$, donc $\mathrm{Im}\, q \subset \mathrm{Ker}\, p$. Réciproquement, si $x \in \mathrm{Ker}\, p$, alors $q(x)=x-0_{E}=x$, donc $x \in \mathrm{Im}\, q$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, q=\mathrm{Im}\, p \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, q=\mathrm{Ker}\, p}$$

3. On développe, en utilisant à nouveau $p \circ p = p$ : $$p \circ q=p \circ (\mathrm{Id}-p)=p-p \circ p=p-p=0$$ et le calcul dans l'autre ordre donne le même résultat. $$\boxed{p \circ q=q \circ p=0}$$

4. L'interprétation est immédiate : $$\boxed{\text{Si } p \text{ projette sur } D \text{ parallèlement à } \Delta, \text{ alors } q \text{ projette sur } \Delta \text{ parallèlement à } D.}$$ L'égalité $p(x)+q(x)=x$ n'est autre que la décomposition de $x$ sur les deux sous-espaces supplémentaires : $p$ en fournit une composante, $q$ l'autre.