Exercice 18

1. On développe, en utilisant $s \circ s = \mathrm{Id}$ : $$p \circ p=\frac{1}{4}(s+\mathrm{Id}) \circ (s+\mathrm{Id})=\frac{1}{4}\big(s \circ s+2s+\mathrm{Id}\big)=\frac{1}{4}\big(2s+2\,\mathrm{Id}\big)=\frac{1}{2}\big(s+\mathrm{Id}\big)=p$$

2. D'après le théorème 2, $\mathrm{Im}\, p$ est l'ensemble des vecteurs invariants par $p$. Or : $$p(x)=x \iff \frac{1}{2}\big(s(x)+x\big)=x \iff s(x)=x \iff x \in \mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})$$ Et pour le noyau : $$p(x)=0_{E} \iff s(x)+x=0_{E} \iff s(x)=-x \iff x \in \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})$$

3. Le théorème 2 donne $E=\mathrm{Ker}\, p \oplus \mathrm{Im}\, p$, et la question 2 identifie ces deux sous-espaces. $$\boxed{E=\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id}) \oplus \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})}$$ Autrement dit, tout vecteur se décompose de façon unique en une partie invariante et une partie changée en son opposé. La décomposition paires/impaires du chapitre 6 en est le cas particulier $s : f \mapsto \big(x \mapsto f(-x)\big)$.

4. On vérifie d'abord : $s\big(s(x\,;y\,;z)\big)=s(z\,;y\,;x)=(x\,;y\,;z)$, donc $s$ est bien une symétrie.

Vecteurs invariants. L'égalité $(z\,;y\,;x)=(x\,;y\,;z)$ équivaut à $z=x$, la coordonnée $y$ restant libre : $$\mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})=\big\{(a\,;b\,;a)\big\}=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;1)\,;(0\,;1\,;0)\big)$$

Vecteurs opposés à leur image. L'égalité $(z\,;y\,;x)=(-x\,;-y\,;-z)$ équivaut à $z=-x$ et $y=0$ : $$\mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;-1)\big)$$

Supplémentarité. Le vecteur $(1\,;0\,;-1)$ ne vérifie pas $z=x$, donc l'intersection des deux sous-espaces est réduite au vecteur nul. Et pour tout $(x\,;y\,;z)$ : $$(x\,;y\,;z)=\underbrace{\left(\frac{x+z}{2} \,;\, y \,;\, \frac{x+z}{2}\right)}_{\in \, \mathrm{Ker}\,(s-\mathrm{Id})}+\underbrace{\left(\frac{x-z}{2} \,;\, 0 \,;\, -\frac{x-z}{2}\right)}_{\in \, \mathrm{Ker}\,(s+\mathrm{Id})}$$