Exercice 19

1. Les sous-espaces $F$ et $G$ étant supplémentaires, tout vecteur $x$ de $E$ s'écrit $x=x_{F}+x_{G}$ avec $x_{F} \in F$ et $x_{G} \in G$, et cette écriture est unique. Le vecteur $x_{F}$ est donc déterminé sans ambiguïté par $x$. $$\boxed{p \text{ est bien définie.}}$$

2. Soient $\lambda \in K$ et $x$, $y \in E$, de décompositions $x=x_{F}+x_{G}$ et $y=y_{F}+y_{G}$. Alors : $$\lambda x+y=\underbrace{\big(\lambda x_{F}+y_{F}\big)}_{\in \, F}+\underbrace{\big(\lambda x_{G}+y_{G}\big)}_{\in \, G}$$ puisque $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels. Par unicité de la décomposition, c'est la décomposition de $\lambda x+y$, d'où : $$p(\lambda x+y)=\lambda x_{F}+y_{F}=\lambda\,p(x)+p(y)$$

3. Soit $x \in E$. Le vecteur $p(x)=x_{F}$ appartient à $F$, donc sa décomposition est $x_{F}+0_{E}$, avec $0_{E} \in G$. Par conséquent : $$p\big(p(x)\big)=x_{F}=p(x) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{p \circ p = p}$$

4. Par construction $\mathrm{Im}\, p \subset F$ ; et tout $x \in F$ vérifie $p(x)=x$, donc $F \subset \mathrm{Im}\, p$. Par ailleurs $p(x)=0_{E}$ équivaut à $x_{F}=0_{E}$, c'est-à-dire $x=x_{G} \in G$. $$\boxed{\mathrm{Im}\, p=F \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Ker}\, p=G}$$

5. On peut donc énoncer la correspondance : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{À tout projecteur } p \text{ correspond le couple de supplémentaires } (\mathrm{Im}\, p \,;\, \mathrm{Ker}\, p), \\[1mm] \text{et à tout couple de supplémentaires } (F\,;G) \text{ correspond la projection sur } F \\[1mm] \text{parallèlement à } G. \text{ Ces deux constructions sont réciproques l'une de l'autre.} \end{array}}$$

6. Le chapitre 6 a établi la décomposition, avec $s=\dfrac{x+y+z}{3}$ : $$(x\,;y\,;z)=\underbrace{(x-s \,;\, y-s \,;\, z-s)}_{\in \, F}+\underbrace{(s\,;s\,;s)}_{\in \, G}$$ Le projecteur cherché est donc $p(x\,;y\,;z)=(x-s \,;\, y-s \,;\, z-s)$, soit : $$\boxed{p(x\,;y\,;z)=\left(\frac{2x-y-z}{3} \,;\, \frac{-x+2y-z}{3} \,;\, \frac{-x-y+2z}{3}\right)}$$ On retrouvera exactement cette application à l'exercice 21, obtenue cette fois par un tout autre chemin.