Exercice 20 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la remarque qui suit la proposition 1, obtenue en prenant $\lambda=-1_{K}$ et $y=x$ dans la caractérisation.

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'application $x \mapsto x^{2}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ envoie $0$ sur $0$ sans être linéaire (exercice 1). Le test du vecteur nul élimine, il ne valide pas.

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 2.

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'image est un sous-espace vectoriel de $F$, l'espace d'arrivée. L'exercice 6 en donne plusieurs illustrations, où $E$ et $F$ ne sont même pas de même nature.

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le théorème 1, et c'est lui que l'on utilise en pratique.

6. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'exercice 12 fournit deux contre-exemples, dont le couple $(D\,;M)$ pour lequel $D \circ M-M \circ D=\mathrm{Id}$.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le deuxième point de la proposition 3.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la seconde affirmation du théorème 2, dont la démonstration du cours établit les deux inclusions.

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Un projecteur bijectif aurait un noyau réduit au vecteur nul, donc $E=\mathrm{Im}\, p$ et $p=\mathrm{Id}_{E}$. Tous les autres projecteurs, comme ceux de l'exercice 16, ne sont pas injectifs.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ L'égalité $s \circ s=\mathrm{Id}_{E}$ montre que $s$ est bijective et qu'elle est sa propre réciproque, exactement comme les involutions du chapitre 3.