Exercice 21

1. Chaque coordonnée de $f(x\,;y\,;z)$ est une expression linéaire homogène en $x$, $y$ et $z$ : la linéarité se vérifie coordonnée par coordonnée. $$\boxed{f \in \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{3}\big)}$$

2. On résout le système $f(x\,;y\,;z)=(0\,;0\,;0)$ : $$\left\{\begin{array}{l} 2x-y-z=0 \\ -x+2y-z=0 \\ -x-y+2z=0 \end{array}\right.$$ En soustrayant la deuxième ligne à la première : $3x-3y=0$, donc $x=y$. La première devient alors $2x-x-z=0$, soit $z=x$. La troisième est alors automatiquement vérifiée : $-x-x+2x=0$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;1)\big)}$$ Ce noyau n'est pas réduit au vecteur nul : $\boxed{f \text{ n'est pas injective.}}$

3. La somme des trois coordonnées de $f(x\,;y\,;z)$ vaut : $$(2x-y-z)+(-x+2y-z)+(-x-y+2z)=0$$ donc $\mathrm{Im}\, f \subset \mathcal{P}$, où $\mathcal{P}$ est le plan d'équation $a+b+c=0$. Réciproquement, $f(1\,;0\,;0)=(2\,;-1\,;-1)$ et $f(0\,;1\,;0)=(-1\,;2\,;-1)$ appartiennent à $\mathcal{P}$ et ne sont pas colinéaires : ils engendrent donc le plan tout entier. $$\boxed{\mathrm{Im}\, f=\big\{(a\,;b\,;c) \in \mathbb{R}^{3} \;\big|\; a+b+c=0\big\}}$$

4. On reconnaît exactement les deux sous-espaces $G=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;1)\big)$ et $F=\{x+y+z=0\}$ du chapitre 6, dont l'exercice 11 a établi qu'ils sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{3}$. $$\boxed{\mathbb{R}^{3}=\mathrm{Ker}\, f \oplus \mathrm{Im}\, f}$$

5. On remarque d'abord que, pour tout $(x\,;y\,;z)$ : $$f(x\,;y\,;z)=3\,(x\,;y\,;z)-(x+y+z)\,(1\,;1\,;1)$$ En appliquant $f$ et en utilisant que $(1\,;1\,;1)$ appartient au noyau : $$f\big(f(x\,;y\,;z)\big)=3\,f(x\,;y\,;z)-\big(\text{somme des coordonnées de } f(x\,;y\,;z)\big)\,(1\,;1\,;1)=3\,f(x\,;y\,;z)$$ la somme en question étant nulle d'après la question 3. $$\boxed{f \circ f = 3f}$$ En posant $p=\dfrac{1}{3}f$, il vient alors : $$p \circ p=\frac{1}{9}\,(f \circ f)=\frac{1}{9} \times 3f=\frac{1}{3}f=p \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{p \text{ est un projecteur.}}$$

6. Comme $p=\frac{1}{3}f$, on a $\mathrm{Ker}\, p=\mathrm{Ker}\, f$ et $\mathrm{Im}\, p=\mathrm{Im}\, f$. $$\boxed{\begin{array}{l} p \text{ est la projection sur le plan d'équation } x+y+z=0, \\[1mm] \text{parallèlement à la droite } \mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;1)\big). \end{array}}$$ C'est exactement l'application obtenue à la question 6 de l'exercice 19, où elle avait été construite à partir de la décomposition. Les deux chemins — l'un par le théorème 2, l'autre par sa réciproque — mènent au même endomorphisme.