Exercice 22

1. On développe dans l'anneau $\mathcal{L}(E)$, en utilisant $p \circ p=p$ et $q \circ q=q$ : $$(p+q) \circ (p+q)=p \circ p+p \circ q+q \circ p+q \circ q=p+0+0+q=p+q$$

2. Le même développement, sans hypothèse cette fois, donne : $$(p+q) \circ (p+q)=p+p \circ q+q \circ p+q$$ Si $p+q$ est un projecteur, ce membre vaut $p+q$, et il reste : $$\boxed{p \circ q+q \circ p=0}$$

3. Composons cette égalité à gauche par $p$, en utilisant $p \circ p=p$ : $$p \circ p \circ q+p \circ q \circ p=0 \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad p \circ q+p \circ q \circ p=0 \tag{i}$$ Composons-la maintenant à droite par $p$ : $$p \circ q \circ p+q \circ p \circ p=0 \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad p \circ q \circ p+q \circ p=0 \tag{ii}$$ En soustrayant $(ii)$ à $(i)$, le terme $p \circ q \circ p$ disparaît : $$\boxed{p \circ q=q \circ p}$$ En reportant dans la question 2, il vient $2\,p \circ q=0$, et le corps étant $\mathbb{R}$ : $$\boxed{p \circ q=q \circ p=0}$$

4. Les deux questions précédentes se rassemblent : $$\boxed{p+q \text{ est un projecteur} \iff p \circ q = q \circ p = 0}$$

5. L'exercice 11 a établi $p \circ q=q \circ p=0$ pour ces deux applications, et l'on a $p+q=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^{2}}$, qui est bien un projecteur puisque $\mathrm{Id} \circ \mathrm{Id}=\mathrm{Id}$. $$\boxed{\text{L'équivalence est vérifiée.}}$$ Géométriquement, $p$ projette sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées, et $q$ fait l'inverse : leurs images sont supplémentaires, et leur somme reconstitue tout vecteur.