Exercice 7

1. L'ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel de $G$, qui est de dimension finie. La proposition 2, appliquée dans l'espace $G$, donne : $$\dim F = \dim G \iff F = G$$

$$\boxed{F=G}$$ C'est un outil économique : il remplace la double inclusion par une seule inclusion et un comptage.

2. Inclusion. On vérifie que $1-1+0=0$ et $0-1+1=0$ : les deux vecteurs générateurs de $F$ appartiennent à $G$. Comme $G$ est un sous-espace vectoriel, il contient toutes leurs combinaisons linéaires, donc $F \subset G$.

Dimensions. Les vecteurs $(1\,;1\,;0)$ et $(0\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires, donc $\dim F = 2$. Par ailleurs $G=\{(x\,;y\,;y-x)\}=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;-1)\,;(0\,;1\,;1)\big)$, donc $\dim G = 2$. $$\boxed{F=G}$$

3. Les droites $\mathrm{Vect}\big((1\,;0)\big)$ et $\mathrm{Vect}\big((0\,;1)\big)$ sont toutes deux de dimension $1$ et ne sont pas égales. $$\boxed{\text{C'est l'hypothèse d'inclusion } F \subset G \text{ qui fait défaut.}}$$ Piège : l'égalité des dimensions seule ne prouve jamais l'égalité de deux sous-espaces. L'inclusion reste indispensable.