Exercice 6

1. L'équation $x+y+z+t=0$ permet d'exprimer $t=-x-y-z$, les trois autres coordonnées restant libres : $$(x\,;y\,;z\,;t)=x\,(1\,;0\,;0\,;-1)+y\,(0\,;1\,;0\,;-1)+z\,(0\,;0\,;1\,;-1)$$ Ces trois vecteurs forment une famille libre, comme le montrent leurs trois premières coordonnées. $$\boxed{\dim F = 3, \text{ de base } \big((1\,;0\,;0\,;-1)\,;(0\,;1\,;0\,;-1)\,;(0\,;0\,;1\,;-1)\big)}$$

2. Un élément de $G$ s'écrit $(x\,;x\,;z\,;z)=x\,(1\,;1\,;0\,;0)+z\,(0\,;0\,;1\,;1)$. $$\boxed{\dim G = 2, \text{ de base } \big((1\,;1\,;0\,;0)\,;(0\,;0\,;1\,;1)\big)}$$

3. Les trois équations donnent $y=-x$, $z=0$ et $t=0$, d'où $(x\,;-x\,;0\,;0)=x\,(1\,;-1\,;0\,;0)$. $$\boxed{\dim H = 1, \text{ de base } \big((1\,;-1\,;0\,;0)\big)}$$

4. On remarque que $(1\,;1\,;1\,;1)=(1\,;0\,;1\,;0)+(0\,;1\,;0\,;1)$ : le troisième vecteur est superflu. Les deux premiers ne sont pas colinéaires. $$\boxed{\dim L = 2, \text{ de base } \big((1\,;0\,;1\,;0)\,;(0\,;1\,;0\,;1)\big)}$$