Exercice 5

1. Le chapitre 6 a établi que $(1\,;\mathrm{i})$ est une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$, et que $(1)$ est une base du $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$. $$\boxed{\dim_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2 \qquad\text{et}\qquad \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C} = 1}$$ Dans le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$, la famille $(1\,;\mathrm{i})$ compte deux vecteurs dans un espace de dimension $1$ : elle ne peut pas être libre, ce que confirme la relation $\mathrm{i} \cdot 1+(-1) \cdot \mathrm{i}=0$.

2. Une base de $E$ compte deux vecteurs. $$\boxed{\dim E = 2}$$

3. Linéarité. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $u$, $v \in E'$ : $$\Phi(\lambda u+v)=\big(\lambda u_{0}+v_{0} \,;\, \lambda u_{1}+v_{1}\big)=\lambda\,\Phi(u)+\Phi(v)$$

Injectivité. Soit $u \in \mathrm{Ker}\, \Phi$, c'est-à-dire $u_{0}=u_{1}=0$. Montrons par récurrence double que $u_{n}=0$ pour tout $n$ : c'est vrai aux rangs $0$ et $1$, et si $u_{n}=u_{n+1}=0$, alors $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}=0$.

Surjectivité. Soit $(a\,;b) \in \mathbb{R}^{2}$. La suite définie par $u_{0}=a$, $u_{1}=b$ et la relation de récurrence appartient à $E'$ et vérifie $\Phi(u)=(a\,;b)$. $$\boxed{\Phi \text{ est un isomorphisme de } E' \text{ sur } \mathbb{R}^{2}.}$$

4. L'image d'une base par un isomorphisme est une base : deux espaces isomorphes ont donc la même dimension. $$\boxed{\dim E' = \dim \mathbb{R}^{2} = 2}$$ Cet argument ne demande aucune base explicite. Il s'applique à toute récurrence linéaire d'ordre $2$, y compris lorsque les racines de l'équation caractéristique sont irrationnelles — ce qui est le cas ici, avec le nombre d'or.