Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 8

Dimension finie

22 exercices corrigés · 10 8 3

Dimension et bases

Exercice 1 Donner la dimension de chacun des espaces vectoriels suivants, en exhibant une base lorsqu'elle est finie. 1. ℝ^3, comme ℝ -espace vectoriel 2. ℝ^4,…
Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, dire sans aucun calcul si la famille considérée peut être libre, peut être génératrice, peut être une base. On…
Exercice 3 Les familles suivantes sont-elles des bases de ℝ^3 ? On n'en vérifiera qu'une seule des deux propriétés, en justifiant ce choix par la proposition…
Exercice 4 On pose P_0=1, P_1=X-1 et P_2=(X-1)^2, trois éléments de ℝ_2[X]. 1. Démontrer que la famille (P_0;P_1;P_2) est libre. 2. En déduire que c'est une…
Exercice 5 1. Justifier que dim _ℝ ℂ = 2 et dim _ℂ ℂ = 1. La famille (1; i) est-elle libre dans le ℂ -espace vectoriel ℂ ? 2. Soit E l'ensemble des suites…

Exercice 6 Déterminer la dimension de chacun des sous-espaces vectoriels suivants de ℝ^4, en exhibant une base. 1. F= (x;y;z;t) ∈ ℝ^4 | x+y+z+t=0 2. G=…
Exercice 7 1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie tels que F ⊂ G et dim F = dim G. Démontrer que F=G. 2. Application: dans ℝ^3, on…
Exercice 8 Soit F un sous-espace vectoriel de ℝ^3. 1. Justifier que dim F appartient à 0;1;2;3. 2. Décrire géométriquement F dans chacun des quatre cas. 3.…
Exercice 9 On pose F= P ∈ ℝ_3[X] | P(1)=0. 1. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ_3[X]. 2. Démontrer que la famille ((X-1); (X-1)^2; (X-1)^3) est…

Exercice 10 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace E de dimension 6, avec dim F = 4 et dim G = 5. 1. Quelles sont les valeurs possibles de dim…
Exercice 11 Dans ℝ^3, on pose: F= (x;y;z) | x+y+z=0 et G= (x;y;z) | x-y=0 1. Déterminer dim F et dim G. 2. Déterminer F ∩ G et sa dimension. 3. À l'aide de la…
Exercice 12 Les deux figures ci-dessous représentent, dans ℝ^3, un plan vectoriel P et une droite vectorielle D. 1. Pour chacune des deux configurations,…
Exercice 13 On note F l'ensemble des polynômes pairs de ℝ_3[X], c'est-à-dire ceux de la forme a+cX^2, et G l'ensemble des polynômes impairs, de la forme…

Exercice 14 Déterminer le rang de chacune des familles de vecteurs suivantes. 1. ((1;2;3);(2;4;6)) dans ℝ^3 2. ((1;0;1);(0;1;1);(1;1;2)) dans ℝ^3 3.…
Exercice 15 Pour chacune des applications linéaires suivantes, déterminer le noyau, en déduire le rang par le théorème du rang, puis conclure quant à…
Exercice 16 1. Soit u l'endomorphisme de ℝ^3 défini par u(x;y;z)=(x+y; y+z; z+x). Déterminer Ker u, puis conclure que u est bijective sans aucun autre calcul.…
Exercice 17 Soient E, F et G trois espaces de dimension finie, u ∈ L(E;F) et v ∈ L(F;G). 1. Démontrer que rg(u) ≤ dim E et rg(u) ≤ dim F. 2. Démontrer que Im (v…
Exercice 18 Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et φ une forme linéaire non nulle sur E. On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel de…

Exercice 19 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les espaces considérés sont des K -espaces vectoriels. 1. Toutes…
Exercice 20 On considère l'application définie sur ℝ^4 par: u(x;y;z;t)= (x+y-z; y+z-t; x+2y-t) 1. Démontrer que u est une application linéaire de ℝ^4 dans ℝ^3.…
Exercice 21 Soient n ∈ ℕ et a_0, a_1, …, a_n des réels deux à deux distincts. On considère: begin array{r|ccl} Phi: & ℝ_n[X] & longrightarrow & ℝ^(n+1) & P &…
Exercice 22 Soient F, G et H trois sous-espaces vectoriels d'un espace E de dimension finie. 1. Démontrer que dim (F+G+H) ≤ dim F+dim G+dim H. 2. Dans E=ℝ^2, on…