Exercice 15

1. Le noyau est donné par $x+y+z=0$ et $x-y=0$, soit $x=y$ et $z=-2x$ : c'est $\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;-2)\big)$, de dimension $1$. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(u)=3-1=2$. Or $\mathrm{Im}\, u$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^{2}$, lui aussi de dimension $2$ : la proposition 2 donne $\mathrm{Im}\, u=\mathbb{R}^{2}$. $$\boxed{u \text{ est surjective, non injective.}}$$

2. Le noyau est donné par $x-y=0$ et $x+y=0$, donc réduit au vecteur nul. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(u)=2-0=2 < 3$. $$\boxed{u \text{ est injective, non surjective.}}$$

3. Le noyau est donné par $x=-y$ et $z=-t$, soit $\mathrm{Vect}\big((1\,;-1\,;0\,;0)\,;(0\,;0\,;1\,;-1)\big)$, de dimension $2$. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(u)=4-2=2=\dim \mathbb{R}^{2}$. $$\boxed{u \text{ est surjective, non injective.}}$$

4. Le noyau est donné par $x=y=z$, soit $\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;1)\big)$, de dimension $1$. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(u)=3-1=2 < 3$. $$\boxed{u \text{ n'est ni injective, ni surjective.}}$$

5. Le noyau de la dérivation est l'ensemble des polynômes constants, de dimension $1$. Comme $\dim \mathbb{R}_{3}[X]=4$, le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(D)=4-1=3 < 4$. $$\boxed{D \text{ n'est ni injective, ni surjective.}}$$

Méthode : dans les cinq cas, l'image n'a jamais été calculée. Le noyau se détermine par un système linéaire, et le théorème du rang fournit ensuite la dimension de l'image ; la proposition 2 permet enfin de conclure à la surjectivité lorsque cette dimension égale celle de l'espace d'arrivée.