Exercice 16

1. Le système $x+y=0$, $y+z=0$, $z+x=0$ donne $y=-x$, puis $z=-y=x$, et la troisième équation devient $2x=0$. $$\mathrm{Ker}\, u=\{0_{E}\}$$ L'application $u$ est donc injective. Comme $u$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$, espace de dimension finie, la proposition 3 s'applique. $$\boxed{u \text{ est bijective.}}$$ Il n'a pas été nécessaire de résoudre le système avec un second membre quelconque.

2. Soit $P \in \mathrm{Ker}\, u$, c'est-à-dire $P+P'=0$. Supposons $P \neq 0$, et notons $d \leqslant 2$ son degré. Le polynôme $P'$ est de degré $d-1$ si $d \geqslant 1$, et nul si $d=0$ : dans tous les cas, $P+P'$ a le même coefficient dominant que $P$, donc est de degré $d$, donc non nul. C'est absurde. $$\mathrm{Ker}\, u=\{0\} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{u \text{ est bijective.}}$$

3. Soit $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{3}\,;\mathbb{R}^{2})$. Le rang de $u$ est la dimension d'un sous-espace de $\mathbb{R}^{2}$, donc $\mathrm{rg}(u) \leqslant 2$. Le théorème du rang donne alors : $$\dim(\mathrm{Ker}\, u)=3-\mathrm{rg}(u) \geqslant 3-2=1 > 0$$

4. Le rang d'une telle application vérifie $\mathrm{rg}(u) \leqslant \dim \mathbb{R}^{2}=2 < 3$, donc $\mathrm{Im}\, u \neq \mathbb{R}^{3}$. $$\boxed{\text{Non : une application linéaire de } \mathbb{R}^{2} \text{ dans } \mathbb{R}^{3} \text{ n'est jamais surjective.}}$$

5. On peut alors énoncer : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Si les deux espaces ont la \emph{même} dimension finie, la proposition 3 s'applique :} \\[1mm] \text{injectivité, surjectivité et bijectivité deviennent équivalentes.} \end{array}}$$ Les questions 3 et 4 montrent que cette hypothèse d'égalité des dimensions est indispensable : sans elle, l'une des deux propriétés peut même être impossible.