Exercice 17

1. L'image $\mathrm{Im}\, u$ est un sous-espace vectoriel de $F$, donc $\mathrm{rg}(u) \leqslant \dim F$ d'après la proposition 2. Et le théorème du rang donne : $$\mathrm{rg}(u)=\dim E-\dim(\mathrm{Ker}\, u) \leqslant \dim E$$

2. Tout élément de $\mathrm{Im}\,(v \circ u)$ s'écrit $v\big(u(x)\big)$ : c'est l'image par $v$ d'un vecteur de $F$, donc un élément de $\mathrm{Im}\, v$. La proposition 2 donne alors l'inégalité des dimensions. $$\boxed{\mathrm{Im}\,(v \circ u) \subset \mathrm{Im}\, v \qquad\text{donc}\qquad \mathrm{rg}(v \circ u) \leqslant \mathrm{rg}(v)}$$

3. Par définition, $\mathrm{Im}\,(v \circ u)=\big\{v(u(x)) \;\big|\; x \in E\big\}$, ce qui est exactement l'ensemble des images par $v$ des éléments de $\mathrm{Im}\, u$. Autrement dit, $\mathrm{Im}\,(v \circ u)$ est l'image de la restriction de $v$ à $\mathrm{Im}\, u$.

Appliquons le théorème du rang à cette restriction, définie sur $\mathrm{Im}\, u$ qui est de dimension finie : $$\mathrm{rg}(v \circ u)=\dim(\mathrm{Im}\, u)-\dim\big(\mathrm{Ker}\, v \cap \mathrm{Im}\, u\big) \leqslant \dim(\mathrm{Im}\, u)=\mathrm{rg}(u)$$

4. Les questions 2 et 3 se rassemblent : $$\boxed{\mathrm{rg}(v \circ u) \leqslant \min\big(\mathrm{rg}(u) \,;\, \mathrm{rg}(v)\big)}$$ Exemple d'inégalité stricte. Sur $\mathbb{R}^{2}$, posons $u(x\,;y)=(x\,;0)$ et $v(x\,;y)=(0\,;y)$. Alors $\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}(v)=1$, tandis que : $$(v \circ u)(x\,;y)=v(x\,;0)=(0\,;0) \qquad\text{donc}\qquad \mathrm{rg}(v \circ u)=0 < 1$$ Ce sont les deux endomorphismes de l'exercice 11 du chapitre 7, qui montraient déjà que $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})$ n'est pas intègre.