Exercice 18

1. L'image $\mathrm{Im}\, \varphi$ est un sous-espace vectoriel de $K$. Or les seuls sous-espaces de $K$ sont $\{0_{K}\}$ et $K$ (exercice 9 du chapitre 7). Comme $\varphi \neq 0$, on a $\mathrm{Im}\, \varphi \neq \{0_{K}\}$. $$\boxed{\mathrm{Im}\, \varphi = K \text{ : la forme linéaire } \varphi \text{ est surjective.}}$$

2. La surjectivité donne $\mathrm{rg}(\varphi)=\dim K=1$, et le théorème du rang s'écrit : $$n=\dim(\mathrm{Ker}\, \varphi)+1$$

3. L'application $(x\,;y\,;z\,;t) \mapsto x+2y-z+3t$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}^{4}$, non nulle puisqu'elle vaut $1$ en $(1\,;0\,;0\,;0)$. $$\boxed{\text{L'ensemble considéré est de dimension } 4-1=3.}$$

4. Supplémentarité. Soit $x \in H \cap \mathrm{Vect}(a)$ : il s'écrit $x=\lambda a$. Si $\lambda \neq 0$, alors $a=\lambda^{-1} \cdot x$ appartient à $H$, ce qui contredit l'hypothèse. Donc $\lambda=0$ et $x=0_{E}$. Comme de plus $\dim H+\dim \mathrm{Vect}(a)=(n-1)+1=n$, le théorème 2 conclut : $$E=H \oplus \mathrm{Vect}(a)$$

Construction de $\varphi$. Tout $x \in E$ s'écrit de façon unique $x=h+\lambda a$ avec $h \in H$ et $\lambda \in K$. On pose $\varphi(x)=\lambda$. Cette application est linéaire — c'est le raisonnement de l'exercice 19 du chapitre 7 —, elle vérifie $\varphi(a)=1$ donc n'est pas nulle, et son noyau est exactement l'ensemble des $x$ dont la composante sur $\mathrm{Vect}(a)$ est nulle, c'est-à-dire $H$. $$\boxed{\text{Tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.}}$$

5. On cherche $\varphi(x\,;y\,;z)=ax+by+cz$ s'annulant sur les deux vecteurs générateurs : $$\varphi(1\,;1\,;0)=a+b=0 \qquad\text{et}\qquad \varphi(0\,;1\,;1)=b+c=0$$ d'où $b=-a$ et $c=a$. En prenant $a=1$ : $$\boxed{\varphi(x\,;y\,;z)=x-y+z}$$ Vérification. Le noyau de cette forme linéaire non nulle est de dimension $2$, et il contient $H$ qui est aussi de dimension $2$ : la proposition 2 donne l'égalité. On retrouve d'ailleurs le sous-espace $G$ de l'exercice 7.