Exercice 19 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le second point du théorème 1, celui qui donne son sens à la notion de dimension.

2. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Une famille libre compte au plus $\dim E = 3$ vecteurs (proposition 1).

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Une famille génératrice compte au moins $\dim E = 3$ vecteurs (proposition 1).

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Les droites $\mathrm{Vect}\big((1\,;0)\big)$ et $\mathrm{Vect}\big((0\,;1)\big)$ de $\mathbb{R}^{2}$ sont de dimension $1$ et distinctes (exercice 7).

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 2 appliquée dans l'espace $G$. L'inclusion est ici l'hypothèse décisive.

6. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Deux droites distinctes de $\mathbb{R}^{3}$ ont une intersection réduite au vecteur nul, sans être supplémentaires : $1+1 \neq 3$. Il manque la condition sur les dimensions.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le théorème 3, valable dès que l'espace de départ est de dimension finie.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 3, appliquée avec $E=F$.

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Le décalage à droite sur $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, étudié à l'exercice 8 du chapitre 7, est injectif sans être surjectif. La proposition 3 est strictement réservée à la dimension finie.

10. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Le rang est la dimension de l'image. C'est précisément la quantité qui complète celle du noyau pour atteindre $\dim E$.