Exercice 20

1. Chaque coordonnée de $u(x\,;y\,;z\,;t)$ est une expression linéaire homogène en $x$, $y$, $z$, $t$ : la linéarité se vérifie coordonnée par coordonnée. $$\boxed{u \in \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{4}\,;\mathbb{R}^{3}\big)}$$

2. Le système $u(x\,;y\,;z\,;t)=(0\,;0\,;0)$ s'écrit : $$\left\{\begin{array}{l} x+y-z=0 \\ y+z-t=0 \\ x+2y-t=0 \end{array}\right.$$ La troisième ligne est la somme des deux premières : elle n'apporte rien. Les deux premières donnent $z=x+y$ puis $t=y+z=x+2y$, les inconnues $x$ et $y$ restant libres : $$(x\,;y\,;z\,;t)=x\,(1\,;0\,;1\,;1)+y\,(0\,;1\,;1\,;2)$$ Ces deux vecteurs forment une famille libre, comme le montrent leurs deux premières coordonnées. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, u=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;1\,;1)\,;(0\,;1\,;1\,;2)\big), \text{ de dimension } 2.}$$

3. Le théorème du rang donne : $$\boxed{\mathrm{rg}(u)=\dim \mathbb{R}^{4}-\dim(\mathrm{Ker}\, u)=4-2=2}$$

4. La troisième coordonnée de $u(x\,;y\,;z\,;t)$ est la somme des deux premières : $$(x+y-z)+(y+z-t)=x+2y-t$$ Donc $\mathrm{Im}\, u \subset \mathcal{P}$, où $\mathcal{P}=\big\{(a\,;b\,;c) \;\big|\; c=a+b\big\}$ est un plan de $\mathbb{R}^{3}$, donc de dimension $2$. Comme $\mathrm{rg}(u)=2=\dim \mathcal{P}$, la proposition 2 donne l'égalité. $$\boxed{\mathrm{Im}\, u=\big\{(a\,;b\,;c) \in \mathbb{R}^{3} \;\big|\; c=a+b\big\}}$$

5. Le noyau n'est pas réduit au vecteur nul, et l'image est de dimension $2 < 3$. $$\boxed{u \text{ n'est ni injective, ni surjective.}}$$

6. Supplémentarité. Un vecteur de $\mathrm{Ker}\, u \cap S$ s'écrit $x\,(1\,;0\,;1\,;1)+y\,(0\,;1\,;1\,;2)$ avec ses deux premières coordonnées nulles, c'est-à-dire $x=y=0$ : c'est le vecteur nul. Comme $\dim(\mathrm{Ker}\, u)+\dim S=2+2=4=\dim \mathbb{R}^{4}$, le théorème 2 conclut : $$\mathbb{R}^{4}=\mathrm{Ker}\, u \oplus S$$

Isomorphisme. La restriction de $u$ à $S$ envoie $(0\,;0\,;z\,;t)$ sur $(-z \,;\, z-t \,;\, -t)$. Son noyau est donné par $-z=0$ et $-t=0$, donc réduit au vecteur nul : elle est injective. Son image est contenue dans $\mathrm{Im}\, u$, et le théorème du rang appliqué à cette restriction donne $\mathrm{rg}=2-0=2=\dim(\mathrm{Im}\, u)$ : la proposition 2 donne alors l'égalité. $$\boxed{u \text{ induit un isomorphisme de } S \text{ sur } \mathrm{Im}\, u.}$$ C'est exactement la construction de la démonstration du théorème 3 : ce qui n'est pas écrasé sur $0$ se retrouve intégralement dans l'image, et l'égalité $4=2+2$ n'est que le décompte de cette bijection.