Exercice 21

1. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $P$, $Q \in \mathbb{R}_{n}[X]$, l'évaluation en un point est linéaire, coordonnée par coordonnée : $$\Phi(\lambda P+Q)=\big((\lambda P+Q)(a_{0}) \,;\, \dots\big)=\lambda\,\Phi(P)+\Phi(Q)$$

2. Une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$ est $\big(1\,;X\,;\dots\,;X^{n}\big)$, qui compte $n+1$ vecteurs : $$\boxed{\dim \mathbb{R}_{n}[X]=n+1=\dim \mathbb{R}^{n+1}}$$ Les deux espaces ont donc la même dimension finie : c'est l'hypothèse de la proposition 3.

3. Soit $P \in \mathrm{Ker}\, \Phi$. Alors $P(a_{0})=\dots=P(a_{n})=0$ : le polynôme $P$ admet au moins $n+1$ racines distinctes, les $a_{i}$ étant deux à deux distincts. Or $P$ est de degré au plus $n$. S'il était non nul, il aurait au plus $n$ racines : c'est absurde. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \Phi=\{0\}}$$

4. L'application $\Phi$ est linéaire et injective entre deux espaces de même dimension finie. $$\boxed{\Phi \text{ est bijective, d'après la proposition 3.}}$$

5. On traduit la bijectivité en une phrase : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Pour tous réels } y_{0}, \dots, y_{n}, \text{ il existe un \emph{unique} polynôme de degré au plus } n \\[1mm] \text{prenant la valeur } y_{i} \text{ en } a_{i} \text{ pour tout } i. \end{array}}$$ C'est le théorème d'interpolation de Lagrange : par $n+1$ points d'abscisses distinctes passe une courbe polynomiale de degré au plus $n$, et une seule. La surjectivité donne l'existence, l'injectivité l'unicité.

6. Cherchons $P=aX^{2}+bX+c$. Les trois conditions s'écrivent : $$c=1 \qquad a+b+c=3 \qquad 4a+2b+c=7$$ La première donne $c=1$, d'où $a+b=2$ et $4a+2b=6$, soit $2a+b=3$. En soustrayant, $a=1$, puis $b=1$. $$\boxed{P=X^{2}+X+1}$$ Vérification : $P(0)=1$, $P(1)=3$ et $P(2)=4+2+1=7$ ✓