Exercice 22

1. La formule de Grassmann donne $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F \cap G) \leqslant \dim F+\dim G$, puisqu'une dimension est positive. En appliquant deux fois ce résultat, à $F$ et $G$ puis à $F+G$ et $H$ : $$\dim(F+G+H) \leqslant \dim(F+G)+\dim H \leqslant \dim F+\dim G+\dim H$$

2. Les trois droites sont deux à deux distinctes. Or deux droites vectorielles distinctes n'ont en commun que le vecteur nul : leurs intersections deux à deux sont donc toutes réduites à $\{0_{E}\}$.

Par ailleurs $F+G$ contient $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$, donc vaut $\mathbb{R}^{2}$ tout entier. $$\boxed{F \cap G=G \cap H=F \cap H=\{0_{E}\} \qquad\text{et}\qquad \dim(F+G+H)=2}$$

3. La quantité proposée vaut : $$1+1+1-0-0-0+0=3$$ alors que $\dim(F+G+H)=2$. $$\boxed{\text{La formule de Grassmann ne se généralise pas à trois sous-espaces.}}$$ Piège à retenir : des intersections deux à deux réduites au vecteur nul ne suffisent pas à faire une somme directe de trois sous-espaces. Ici, la relation $(1\,;1)=(1\,;0)+(0\,;1)$ montre que $H$ est « déjà contenu » dans $F+G$, bien qu'il ne rencontre ni $F$ ni $G$.

4. La formule de Grassmann donne, avec $\dim F+\dim G=n$ : $$\dim(F \cap G)=\dim F+\dim G-\dim(F+G)=n-\dim(F+G)$$

Sens direct. Si $F$ et $G$ sont supplémentaires, alors $F+G=E$ par définition.

Réciproque. Si $F+G=E$, alors $\dim(F+G)=n$, donc $\dim(F \cap G)=0$, c'est-à-dire $F \cap G=\{0_{E}\}$ : la somme est directe, et elle vaut $E$. $$\boxed{\text{Sous l'hypothèse } \dim F+\dim G=\dim E \;:\; F \text{ et } G \text{ supplémentaires} \iff F+G=E}$$ Le même raisonnement montre que, sous cette hypothèse de dimensions, $F \cap G=\{0_{E}\}$ suffit également : c'est exactement le critère du théorème 2.