Exercice 14

Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre.

1. On a $(2\,;4\,;6)=2 \times (1\,;2\,;3)$ : la famille engendre une droite. $\boxed{\mathrm{rg} = 1}$

2. On a $(1\,;1\,;2)=(1\,;0\,;1)+(0\,;1\,;1)$ : le troisième vecteur est superflu, et les deux premiers ne sont pas colinéaires. $\boxed{\mathrm{rg} = 2}$

3. La famille est libre d'après l'exercice 3, donc c'est une base de $\mathbb{R}^{3}$. $\boxed{\mathrm{rg} = 3}$

4. On a $(1\,;1\,;1\,;1)=(1\,;0\,;0\,;1)+(0\,;1\,;1\,;0)$, et les deux premiers vecteurs ne sont pas colinéaires. $\boxed{\mathrm{rg} = 2}$

Méthode : on cherche d'abord les relations évidentes entre les vecteurs, ce qui fait chuter le rang ; on vérifie ensuite que les vecteurs restants forment une famille libre.