Exercice 13

1. On a $F=\mathrm{Vect}\big(1 \,;\, X^{2}\big)$ et $G=\mathrm{Vect}\big(X \,;\, X^{3}\big)$ : ce sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}_{3}[X]$. Chacune de ces deux familles est libre, les degrés des polynômes qui la composent étant distincts. $$\boxed{\dim F = \dim G = 2}$$

2. Soit $P \in F \cap G$. Il s'écrit $P=a+cX^{2}$ et $P=bX+dX^{3}$. En identifiant les coefficients de ces deux écritures, il vient $a=b=c=d=0$. $$\boxed{F \cap G = \{0\}}$$

3. On a $\dim F+\dim G=2+2=4=\dim \mathbb{R}_{3}[X]$ et $F \cap G=\{0\}$ : le critère du théorème 2 s'applique. $$\boxed{\mathbb{R}_{3}[X]=F \oplus G}$$ On notera qu'il n'a pas été nécessaire de démontrer que $F+G=\mathbb{R}_{3}[X]$ : le comptage des dimensions l'a fourni gratuitement.

4. On sépare les monômes de degré pair de ceux de degré impair : $$\boxed{X^{3}+2X^{2}-X+5=\underbrace{\big(2X^{2}+5\big)}_{\in \, F}+\underbrace{\big(X^{3}-X\big)}_{\in \, G}}$$