Exercice 12

1. Dans les deux configurations, $P$ est un plan et $D$ une droite. En (a), la droite perce le plan : elles n'ont que l'origine en commun. En (b), la droite est contenue dans le plan, donc $P \cap D = D$. $$\boxed{\textbf{(a)} \;:\; \dim P = 2, \; \dim D = 1, \; \dim(P \cap D)=0}$$

2. La formule de Grassmann donne : $$\textbf{(a)} \;:\; \dim(P+D)=2+1-0=3 \qquad\qquad \textbf{(b)} \;:\; \dim(P+D)=2+1-1=2$$

3. On a $P=\mathrm{Vect}\big((0\,;1\,;0)\,;(0\,;0\,;1)\big)$, donc $\dim P = 2$, et $\dim D = 1$. Un vecteur de $D$ s'écrit $(t\,;0\,;0)$, et appartient à $P$ si et seulement si $t=0$ : donc $P \cap D=\{0_{E}\}$. Comme $\dim P+\dim D=3=\dim \mathbb{R}^{3}$, le théorème 2 conclut. $$\boxed{\mathbb{R}^{3}=P \oplus D, \text{ avec la décomposition } (x\,;y\,;z)=(0\,;y\,;z)+(x\,;0\,;0).}$$

4. Le comptage des dimensions répond immédiatement : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Deux droites : } 1+1=2 \neq 3, \text{ jamais supplémentaires dans } \mathbb{R}^{3}. \\[1mm] \text{Deux plans : } 2+2=4 \neq 3, \text{ jamais supplémentaires non plus.} \end{array}}$$ Le seul appariement possible dans $\mathbb{R}^{3}$ est donc « un plan et une droite », et encore faut-il que la droite ne soit pas contenue dans le plan.