Exercice 11

1. Chacun des deux ensembles est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $\mathbb{R}^{3}$, donc un plan vectoriel. On peut aussi le voir directement : $$F=\mathrm{Vect}\big((1\,;-1\,;0)\,;(1\,;0\,;-1)\big) \qquad\text{et}\qquad G=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;0)\,;(0\,;0\,;1)\big)$$

2. Un vecteur de $F \cap G$ vérifie $x=y$ et $x+y+z=0$, donc $z=-2x$ : $$\boxed{F \cap G=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;-2)\big), \text{ de dimension } 1.}$$

3. La formule de Grassmann donne : $$\dim(F+G)=2+2-1=3=\dim \mathbb{R}^{3}$$ et la proposition 2 permet de conclure. $$\boxed{F+G=\mathbb{R}^{3}}$$

4. Les deux critères du théorème 2 échouent : $$\boxed{\text{Non : } F \cap G \neq \{0_{E}\}, \text{ et par ailleurs } \dim F+\dim G=4 \neq 3=\dim \mathbb{R}^{3}.}$$ C'est la figure du cours : deux plans distincts de $\mathbb{R}^{3}$ engendrent tout l'espace, sans être supplémentaires pour autant. La somme n'est pas directe, et la décomposition d'un vecteur n'est pas unique.