Exercice 10

1. D'une part $G \subset F+G$, donc $\dim(F+G) \geqslant \dim G = 5$. D'autre part $F+G \subset E$, donc $\dim(F+G) \leqslant 6$. $$\boxed{\dim(F+G) \in \{5 \,;6\}}$$

2. La formule de Grassmann donne $\dim(F \cap G)=\dim F+\dim G-\dim(F+G)=9-\dim(F+G)$. $$\boxed{\dim(F \cap G) \in \{3 \,;4\}}$$

3. Dans les deux cas, $\dim(F \cap G) \geqslant 3 > 0$. $$\boxed{F \cap G \neq \{0_{E}\}}$$

4. Comme $F+G$ est un sous-espace de $E$, on a $\dim(F+G) \leqslant \dim E$, d'où par Grassmann : $$\dim(F \cap G)=\dim F+\dim G-\dim(F+G) \geqslant \dim F+\dim G-\dim E > 0$$

$$\boxed{\dim F+\dim G > \dim E \;\Longrightarrow\; F \cap G \neq \{0_{E}\}}$$ Autrement dit, deux sous-espaces « trop gros » se rencontrent nécessairement ailleurs qu'en $0_{E}$.