Exercice 9

1. On a $F \subset \mathbb{R}_{3}[X]$, le polynôme nul vérifie $P(1)=0$, et pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $P$, $Q \in F$ : $$(\lambda P+Q)(1)=\lambda\,P(1)+Q(1)=0$$

2. Chaque polynôme $(X-1)^{k}$ s'annule en $1$, donc appartient à $F$. Soient $a$, $b$, $c$ tels que : $$a(X-1)+b(X-1)^{2}+c(X-1)^{3}=0$$ Le coefficient de $X^{3}$ du membre de gauche vaut $c$, donc $c=0$ ; le coefficient de $X^{2}$ vaut alors $b$, donc $b=0$ ; il reste $a(X-1)=0$, donc $a=0$. $$\boxed{\text{La famille est libre, et contenue dans } F.}$$

3. D'une part, $F$ contient une famille libre de trois vecteurs, donc $\dim F \geqslant 3$ d'après la proposition 1.

D'autre part, $F$ est un sous-espace de $\mathbb{R}_{3}[X]$, qui est de dimension $4$ : donc $\dim F \leqslant 4$. Mais l'égalité entraînerait $F=\mathbb{R}_{3}[X]$ d'après la proposition 2, ce qui est faux puisque le polynôme constant $1$ ne s'annule pas en $1$. Donc $\dim F \leqslant 3$. $$\boxed{\dim F = 3}$$

4. La famille est libre et compte trois vecteurs dans un espace de dimension trois : c'est une base.

Pour les coordonnées de $X^{3}-1$, posons $Y=X-1$, de sorte que $X=Y+1$ : $$X^{3}-1=(Y+1)^{3}-1=Y^{3}+3Y^{2}+3Y$$

$$\boxed{X^{3}-1=3\,(X-1)+3\,(X-1)^{2}+(X-1)^{3}, \text{ soit les coordonnées } (3\,;3\,;1).}$$ Remarque : on retrouve le triplet $(3\,;3\,;1)$ de l'exercice 4, ce qui n'est pas fortuit : là encore, ce sont les coefficients de Taylor de $X^{3}-1$ au point $1$.