Exercice 8

1. L'espace $\mathbb{R}^{3}$ est de dimension $3$, donc la proposition 2 donne $\dim F \leqslant 3$. Comme une dimension est un entier naturel : $$\boxed{\dim F \in \{0 \,;1 \,;2 \,;3\}}$$

2. On décrit chaque cas.

• $\dim F = 0$ : $F=\{0_{E}\}$, réduit au vecteur nul.

• $\dim F = 1$ : $F=\mathrm{Vect}(u)$ avec $u \neq 0_{E}$, une droite vectorielle.

• $\dim F = 2$ : $F=\mathrm{Vect}(u\,;v)$ avec $(u\,;v)$ libre, un plan vectoriel.

• $\dim F = 3$ : d'après la proposition 2, $F=\mathbb{R}^{3}$.

3. La proposition 2 impose l'unicité dans les deux cas extrêmes : $$\boxed{\text{Un seul de dimension } 3 \text{ (l'espace } \mathbb{R}^{3} \text{ lui-même), et un seul de dimension } 0 \text{ (}\{0_{E}\}\text{).}}$$

4. Le même raisonnement, avec $\dim \mathbb{R}^{2}=2$, donne : $$\boxed{\text{Les sous-espaces de } \mathbb{R}^{2} \text{ sont } \{0_{E}\}, \text{ les droites vectorielles, et } \mathbb{R}^{2}.}$$