ExerciceMaths approfondies, chapitre 8 — Dimension finie · Dimension et bases

Exercice 1

Calcul

Donner la dimension de chacun des espaces vectoriels suivants, en exhibant une base lorsqu'elle est finie.

1. $\mathbb{R}^{3}$ , comme $\mathbb{R}$ -espace vectoriel

2. $\mathbb{R}^{4}$ , comme $\mathbb{R}$ -espace vectoriel

3. $\mathbb{R}_{2}[X]$

4. $\mathbb{R}_{4}[X]$

5. $\mathbb{C}$ , comme $\mathbb{R}$ -espace vectoriel

6. $\mathbb{C}$ , comme $\mathbb{C}$ -espace vectoriel

7. $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$

8. $\{0_{E}\}$

9. $\mathrm{Vect}\big((1\,;2\,;3)\,;(2\,;4\,;6)\big)$ dans $\mathbb{R}^{3}$

10. $\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ , comme $\mathbb{R}$ -espace vectoriel

Corrigé

Espace	Dimension	Base
$\mathbb{R}^{3}$	$3$	Base canonique $\big((1\,;0\,;0)\,;(0\,;1\,;0)\,;(0\,;0\,;1)\big)$ .
$\mathbb{R}^{4}$	$4$	Base canonique, à quatre vecteurs.
$\mathbb{R}_{2}[X]$	$3$	$\big(1 \,;\, X \,;\, X^{2}\big)$ .
$\mathbb{R}_{4}[X]$	$5$	$\big(1 \,;\, X \,;\, X^{2} \,;\, X^{3} \,;\, X^{4}\big)$ .
$\mathbb{C}$ sur $\mathbb{R}$	$2$	$(1 \,;\, \mathrm{i})$ .
$\mathbb{C}$ sur $\mathbb{C}$	$1$	$(1)$ .
$\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$	$6$	Les six matrices n'ayant qu'un coefficient non nul, égal à $1$ .
$\{0_{E}\}$	$0$	La famille vide, par convention.
$\mathrm{Vect}\big((1\,;2\,;3)\,;(2\,;4\,;6)\big)$	$1$	$\big((1\,;2\,;3)\big)$ , car $(2\,;4\,;6)=2 \times (1\,;2\,;3)$ .
$\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$	infinie	Aucune base finie.

Piège de l'avant-dernière ligne : une famille de deux vecteurs peut n'engendrer qu'une droite. Le nombre de vecteurs d'une famille génératrice majore la dimension, sans jamais la donner.

Justification de la dernière ligne : pour tout $n$ , la famille $\big(1\,;X\,;\dots\,;X^{n}\big)$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ . Si cet espace était de dimension finie $d$ , la proposition 1 imposerait $n+1 \leqslant d$ pour tout $n$ , ce qui est impossible.

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Familles libres, génératrices, bases Anneaux de polynômes

Thèmes

dimension, bases, espaces de polynômes

Notions

dimension, base (algèbre linéaire)