Exercice 4

1. Soient $a$, $b$, $c$ réels tels que $a+b(X-1)+c(X-1)^{2}=0$. En développant : $$c\,X^{2}+(b-2c)\,X+(a-b+c)=0$$ Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont : $c=0$, puis $b=0$, puis $a=0$. $$\boxed{\text{La famille } (P_{0}\,;P_{1}\,;P_{2}) \text{ est libre.}}$$

2. C'est une famille libre de trois vecteurs dans $\mathbb{R}_{2}[X]$, qui est de dimension $3$. $$\boxed{\text{C'est une base de } \mathbb{R}_{2}[X].}$$

3. On cherche $a$, $b$, $c$ tels que $a+b(X-1)+c(X-1)^{2}=X^{2}+X+1$. En identifiant les coefficients du développement ci-dessus : $$c=1 \qquad b-2c=1 \qquad a-b+c=1$$ d'où $c=1$, puis $b=3$, puis $a=3$. $$\boxed{\text{Les coordonnées de } X^{2}+X+1 \text{ sont } (3\,;3\,;1).}$$ Vérification : $3+3(X-1)+(X-1)^{2}=3+3X-3+X^{2}-2X+1=X^{2}+X+1$ ✓

4. Avec $P=X^{2}+X+1$, on a $P(1)=3$, $P'(X)=2X+1$ donc $P'(1)=3$, et $P''(X)=2$ donc $\dfrac{P''(1)}{2}=1$. $$\boxed{P=P(1)+P'(1)\,(X-1)+\frac{P''(1)}{2}\,(X-1)^{2}}$$ On reconnaît la formule de Taylor au point $1$. Les coordonnées dans la base $\big(1\,;(X-1)\,;(X-1)^{2}\big)$ ne sont donc rien d'autre que les coefficients de Taylor.