Exercice 1

1. L'addition et la multiplication externe se font coefficient par coefficient : $$\boxed{A+B=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad 2A-3B=\begin{pmatrix} -7 & 1 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}}$$

2. Le coefficient en haut à gauche de $AB$ vaut $1 \times 3+2 \times 2=7$, et l'on poursuit de même : $$\boxed{AB=\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{tandis que}\qquad BA=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}}$$

3. Le produit $XY$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $X$ égale le nombre de lignes de $Y$. Ici $A$ est de taille $2 \times 2$, $C$ de taille $2 \times 3$ et $D$ de taille $3 \times 2$. $$\boxed{CD \text{ est } 2 \times 2 \quad;\quad DC \text{ est } 3 \times 3 \quad;\quad AC \text{ est } 2 \times 3 \quad;\quad CA \text{ n'est pas défini.}}$$ En effet $C$ a trois colonnes et $A$ deux lignes. Les trois autres valent : $$CD=\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \qquad DC=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix} \qquad AC=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

4. On calcule : $$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2} \qquad\text{d'où}\qquad A^{3}=A^{2}A=A$$

$$\boxed{A^{2}=I_{2} \text{ : la matrice } A \text{ est inversible et } A^{-1}=A.}$$ C'est la matrice d'une symétrie, au sens du chapitre 7.