Exercice 2

1. Le produit vaut bien la matrice nulle, et pourtant aucun des deux facteurs ne l'est. $$\boxed{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \text{ possède des diviseurs de zéro : cet anneau n'est pas intègre.}}$$

2. On effectue le produit : $$N^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{donc}\qquad \boxed{N^{2}=0}$$

3. Plusieurs réponses conviennent, par exemple : $$\boxed{M=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{ou}\qquad M=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$ Vérification pour la seconde : $M^{2}=\begin{pmatrix} 1-1 & -1+1 \\ 1-1 & -1+1 \end{pmatrix}=0$ ✓

4. On calcule $AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $AC=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. $$\boxed{AB=AC \text{ alors que } B \neq C \text{ : on ne peut pas simplifier par } A.}$$ La simplification n'est licite que si le facteur commun est inversible : on multiplie alors par son inverse. Ici $A$ ne l'est pas.