ExerciceMaths approfondies, chapitre 9 — Matrices · Opérations sur les matrices

Exercice 3

DémonstrationCalcul

On pose : $N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad A=I_{3}+N$

1. Calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ .

2. Justifier que l'on peut appliquer la formule du binôme au calcul de $A^{k}$ , pour $k \in \mathbb{N}^{*}$ .

3. En déduire une expression de $A^{k}$ sous forme de matrice.

4. Vérifier le résultat pour $k=2$ et $k=3$ par un calcul direct.

Corrigé

1. On calcule : $N^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad N^{3}=0$ À chaque multiplication par $N$ , la diagonale de coefficients non nuls se décale d'un cran vers la droite, jusqu'à sortir de la matrice.

2. La formule du binôme exige que les deux termes commutent. Or $I_{3}$ commute avec toute matrice. $\boxed{\text{Le binôme s'applique à } A^{k}=(I_{3}+N)^{k}.}$

3. Comme $N^{j}=0$ dès que $j \geqslant 3$ , la somme se réduit à trois termes : $A^{k}=\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} N^{j} = I_{3}+kN+\frac{k(k-1)}{2}N^{2}$

\boxed{A^{k}=\begin{pmatrix} 1 & k & \dfrac{k(k-1)}{2} \\[2mm] 0 & 1 & k \\[1mm] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

4. Pour $k=2$ , la formule donne $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , et pour $k=3$ , $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ : le calcul direct confirme ✓

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Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Binôme de Newton et coefficients binomiaux

Thèmes

matrices, produit matriciel, puissances d'une matrice, matrice d'une application linéaire

Notions

matrices (espace des)