Exercice 4

1. Ce sont les six matrices de $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ n'ayant qu'un seul coefficient non nul, égal à $1$ : $$E_{1,1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad E_{1,2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad E_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

2. Caractère générateur. Toute matrice $A=(a_{i,j})$ s'écrit $A=\sum_{i,j} a_{i,j}E_{i,j}$, par définition des opérations coefficient par coefficient.

Liberté. Si $\sum_{i,j} \lambda_{i,j}E_{i,j}=0$, alors le coefficient d'indice $(i\,;j)$ du membre de gauche vaut $\lambda_{i,j}$, donc tous les $\lambda_{i,j}$ sont nuls. $$\boxed{\text{La famille des } E_{i,j} \text{ est une base, et } \dim \mathcal{M}_{n,p}(K)=np.}$$

3. Les quatre produits se lisent directement sur la définition : $$\boxed{E_{1,1}E_{1,2}=E_{1,2} \quad;\quad E_{1,2}E_{1,1}=0 \quad;\quad E_{1,2}E_{2,1}=E_{1,1} \quad;\quad E_{2,1}E_{1,2}=E_{2,2}}$$ Les deux premiers produits illustrent à nouveau la non-commutativité, les deux derniers aussi.

4. On conjecture, puis on démontre : $$\boxed{E_{i,j}E_{k,l}=\left\{\begin{array}{ll} E_{i,l} & \text{si } j=k \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right.}$$ Démonstration. Le coefficient d'indice $(p\,;q)$ du produit vaut $\sum_{m} (E_{i,j})_{p,m}(E_{k,l})_{m,q}$. Le premier facteur n'est non nul que si $p=i$ et $m=j$, le second que si $m=k$ et $q=l$. Le produit n'est donc non nul que si $j=k$, et vaut alors $1$ à la seule position $(i\,;l)$.