Exercice 5

1. On calcule les deux produits : $$AE_{1,1}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad E_{1,1}A=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ L'égalité impose $b=0$ (coefficient en haut à droite) et $c=0$ (coefficient en bas à gauche). $$\boxed{b=c=0}$$

2. La matrice s'écrit désormais $A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$, et : $$AE_{1,2}=\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad E_{1,2}A=\begin{pmatrix} 0 & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

3. Les deux questions précédentes se combinent : $$\boxed{A=a\,I_{2} \text{ : c'est une matrice scalaire.}}$$

4. Réciproquement, pour tout $\lambda \in K$ et toute matrice $M$ : $$(\lambda I_{2})M=\lambda M=M(\lambda I_{2})$$

$$\boxed{\text{Les matrices commutant avec toutes les autres sont exactement les } \lambda I_{2}.}$$ On retrouve le centre de l'anneau, notion introduite au chapitre 3 : ici, il se réduit aux homothéties.