Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 9

Matrices

25 exercices corrigés · 9 13 2

Opérations sur les matrices

Exercice 1 On considère les matrices suivantes, à coefficients réels: A=begin pmatrix 1 & 2 0 & -1 end pmatrix B=begin pmatrix 3 & 1 2 & 0 end pmatrix C=begin…
Exercice 2 1. Vérifier l'égalité donnée dans le cours: begin pmatrix 1 & 0 0 & 0 end pmatrix × begin pmatrix 0 & 0 0 & 1 end pmatrix = begin pmatrix 0 & 0 0 &…
Exercice 3 On pose: N=begin pmatrix 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end pmatrix et A=I_3+N 1. Calculer N^2 et N^3. 2. Justifier que l'on peut appliquer la…
Exercice 4 Pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p, on note E_i,j la matrice de M_n,p(K) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d'indice (i;j) qui vaut 1. 1.…
Exercice 5 Soit A=begin pmatrix a & b c & d end pmatrix une matrice de M_2(K) commutant avec toutes les matrices de M_2(K). 1. Écrire l'égalité AE_1,1=E_1,1A…

Exercice 6 Écrire la matrice de chacune des applications linéaires suivantes, les espaces étant munis de leurs bases canoniques. 1. begin array{r|ccl} u: & ℝ^3…
Exercice 7 Le dessin ci-dessous représente, dans le plan muni de sa base canonique (e_1;e_2), les images de ces deux vecteurs par un endomorphisme u de ℝ^2. 1.…
Exercice 8 Dans chacun des cas suivants, la matrice donnée est celle d'une application linéaire dans les bases canoniques. Préciser les espaces de départ et…
Exercice 9 On munit ℝ_3[X] de la base B= (1; X; X^2; X^3), et l'on note D la dérivation P ↦ P'. 1. Justifier que D est un endomorphisme de ℝ_3[X], puis écrire…
Exercice 10 1. On pose u(x;y;z)=(x+y; y+z) de ℝ^3 dans ℝ^2, et v(x;y)=(2x-y; x+y) de ℝ^2 dans ℝ^2. Écrire les matrices A de u et B de v dans les bases…
Exercice 11 Soit u l'endomorphisme de ℝ^2 défini par u(x;y)=(2x+y; x+2y). 1. Écrire la matrice A de u dans la base canonique. 2. Vérifier que B'= ((1;1);(1;-1))…

Exercice 12 Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Le cas échéant, déterminer leur inverse par la méthode du cours, en résolvant le système AX=Y. 1.…
Exercice 13 Soit A=begin pmatrix a & b c & d end pmatrix une matrice de M_2(K). On pose widetilde A=begin pmatrix d & -b -c & a end pmatrix. 1. Calculer…
Exercice 14 Soient A et B deux matrices inversibles de M_n(K). 1. Démontrer que (A^(-1))^(-1)=A. 2. Démontrer que (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1), puis donner un exemple…
Exercice 15 1. Soit u l'endomorphisme de ℝ^3 défini par u(x;y;z)=(x+y; y+z; z+x). Écrire sa matrice A dans la base canonique. 2. Déterminer A^(-1) en résolvant…

Exercice 16 On considère la matrice A=begin pmatrix 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end pmatrix et les trois opérations élémentaires suivantes: L_1 leftrightarrow…
Exercice 17 Déterminer, par la méthode du pivot de Gauss, si les matrices suivantes sont inversibles, et calculer leur inverse le cas échéant. On présentera les…
Exercice 18 1. Inverser par le pivot de Gauss la matrice suivante, puis vérifier le résultat par un produit: M=begin pmatrix 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 &…

Exercice 19 1. Déterminer la transposée de chacune des matrices suivantes. A=begin pmatrix 1 & 2 3 & 4 end pmatrix B=begin pmatrix 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 end…
Exercice 20 1. Avec A=begin pmatrix 1 & 2 0 & -1 end pmatrix et B=begin pmatrix 3 & 1 2 & 0 end pmatrix, calculer ^t(AB), puis ^tA ^tB et ^tB ^tA. Laquelle des…
Exercice 21 On note S_n l'ensemble des matrices symétriques de M_n(ℝ) et A_n celui des matrices antisymétriques. 1. Démontrer que S_n et A_n sont des…
Exercice 22 On note T_n l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de M_n(K), c'est-à-dire celles dont les coefficients a_i,j sont nuls dès que i>j. 1.…

Exercice 23 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Le produit matriciel n'est pas commutatif dès que n ≥ 2. 2.…
Exercice 24 Soit u l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est: A= 1/3 begin pmatrix 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 end pmatrix 1.…
Exercice 25 On considère l'ensemble des suites réelles vérifiant u_(n+2)=5u_(n+1)-6u_n, déjà rencontré aux chapitres 6 et 8. Pour tout n ∈ ℕ, on pose: X_n=begin…