Exercice 11

1. Les colonnes sont les images de $e_{1}$ et $e_{2}$ : $$\boxed{A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

2. Si $\lambda\,(1\,;1)+\mu\,(1\,;-1)=(0\,;0)$, alors $\lambda+\mu=0$ et $\lambda-\mu=0$, donc $\lambda=\mu=0$. C'est une famille libre de deux vecteurs dans un espace de dimension $2$. $$\boxed{\mathcal{B}' \text{ est une base de } \mathbb{R}^{2}.}$$

3. Chacun des deux vecteurs est simplement multiplié par un scalaire : $$u(1\,;1)=(3\,;3)=3 \times (1\,;1) \qquad\text{et}\qquad u(1\,;-1)=(1\,;-1)=1 \times (1\,;-1)$$

4. Chaque vecteur de $\mathcal{B}'$ est simplement multiplié par un scalaire : $$\boxed{u^{k}(1\,;1)=3^{k}\,(1\,;1) \qquad\text{et}\qquad u^{k}(1\,;-1)=(1\,;-1)}$$

5. On décompose $(x\,;y)=\dfrac{x+y}{2}\,(1\,;1)+\dfrac{x-y}{2}\,(1\,;-1)$, puis on applique $u^{k}$ : $$\boxed{u^{k}(x\,;y)=\left(\frac{3^{k}(x+y)+(x-y)}{2} \,;\, \frac{3^{k}(x+y)-(x-y)}{2}\right)}$$ À retenir : dans la base canonique, calculer $A^{k}$ serait pénible ; dans la base $\mathcal{B}'$, la matrice est diagonale et la puissance $k$-ième est immédiate. Trouver une telle base est précisément l'objet de la diagonalisation, annoncée par la remarque finale du cours.