Exercice 10

1. Les colonnes sont les images des vecteurs des bases canoniques : $$\boxed{A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

2. On compose directement : $$(v \circ u)(x\,;y\,;z)=v(x+y \,;\, y+z)=\big(2(x+y)-(y+z) \,;\, (x+y)+(y+z)\big)=(2x+y-z \,;\, x+2y+z)$$

3. Le produit $BA$ donne exactement la même matrice, conformément au théorème 1. Quant à $AB$, il n'est pas défini : $A$ possède trois colonnes et $B$ deux lignes. $$\boxed{\mathrm{Mat}(v \circ u)=BA, \text{ et le produit } AB \text{ n'a pas de sens.}}$$ C'est cohérent avec la composition : $u \circ v$ n'a pas de sens non plus, l'arrivée de $v$ étant $\mathbb{R}^{2}$ et le départ de $u$ étant $\mathbb{R}^{3}$.

4. On développe le produit : $$R_{\theta}R_{\theta'}=\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta' & -\cos\theta\sin\theta'-\sin\theta\cos\theta' \\ \sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta' & -\sin\theta\sin\theta'+\cos\theta\cos\theta' \end{pmatrix}$$ Or le théorème 1 donne $R_{\theta}R_{\theta'}=\mathrm{Mat}(r_{\theta} \circ r_{\theta'})=\mathrm{Mat}(r_{\theta+\theta'})=R_{\theta+\theta'}$. En identifiant les coefficients : $$\boxed{\cos(\theta+\theta')=\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta' \qquad \sin(\theta+\theta')=\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'}$$