Exercice 9

1. La dérivée d'un polynôme de degré au plus $3$ est de degré au plus $2$, donc appartient encore à $\mathbb{R}_{3}[X]$ ; et la dérivation est linéaire. Ses images sur la base valent $D(1)=0$, $D(X)=1$, $D(X^{2})=2X$ et $D(X^{3})=3X^{2}$ : $$\boxed{M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

2. On calcule : $$M^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad M^{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad M^{4}=0$$

3. La première colonne de $M$ est nulle : le premier vecteur de base, à savoir le polynôme constant $1$, est envoyé sur $0$. Les trois autres colonnes engendrent $\mathrm{Vect}(e_{1}\,;e_{2}\,;e_{3})$, c'est-à-dire les polynômes de degré au plus $2$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, D=\mathrm{Vect}(1) \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, D=\mathbb{R}_{2}[X]}$$

4. Les trois dernières colonnes sont libres, donc $\mathrm{rg} M=3$, et : $$\boxed{\dim \mathbb{R}_{3}[X]=4=1+3=\dim(\mathrm{Ker}\, D)+\mathrm{rg}(D)}$$