ExerciceMaths approfondies, chapitre 9 — Matrices · Matrice d'une application linéaire

Exercice 8

Calcul

Dans chacun des cas suivants, la matrice donnée est celle d'une application linéaire dans les bases canoniques. Préciser les espaces de départ et d'arrivée, puis donner l'expression de l'application.

1. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

2. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

4. $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Pour la dernière, reconnaître géométriquement l'application obtenue.

Corrigé

Le nombre de colonnes donne la dimension de départ, le nombre de lignes celle d'arrivée, et chaque ligne fournit une coordonnée de l'image.

1. Matrice $2 \times 2$ : $\boxed{u : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}, \quad u(x\,;y)=(2x-y \,;\, x+3y)}$

2. Matrice $2 \times 3$ : $\boxed{u : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}, \quad u(x\,;y\,;z)=(x+2z \,;\, -x+y)}$

3. Matrice $3 \times 2$ : $\boxed{u : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}, \quad u(x\,;y)=(x+y \,;\, 2y \,;\, 3x-y)}$

4. Matrice $2 \times 2$ : $\boxed{u : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}, \quad u(x\,;y)=(-y \,;\, x)}$

Pour la dernière, on reconnaît la matrice $R_{\theta}$ du cours avec $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ , puisque $\cos\frac{\pi}{2}=0$ et $\sin\frac{\pi}{2}=1$ : $\boxed{\text{C'est la rotation d'angle } \dfrac{\pi}{2}.}$

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