ExerciceMaths approfondies, chapitre 9 — Matrices · Matrice d'une application linéaire

Exercice 7

Calcul

Le dessin ci-dessous représente, dans le plan muni de sa base canonique $(e_{1}\,;e_{2})$ , les images de ces deux vecteurs par un endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^{2}$ .

1. Lire les coordonnées de $u(e_{1})$ et $u(e_{2})$ .

2. En déduire la matrice de $u$ dans la base canonique.

3. Donner l'expression de $u(x\,;y)$ , puis calculer $u(3\,;-2)$ .

4. L'application $u$ est-elle bijective ? On pourra chercher $\mathrm{Ker}\, u$ .

Corrigé

1. On lit les extrémités des deux flèches sur le quadrillage : $\boxed{u(e_{1})=(2\,;1) \qquad\text{et}\qquad u(e_{2})=(-1\,;1)}$

2. Ces deux vecteurs forment les deux colonnes : $\boxed{A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$

3. La première ligne donne la première coordonnée, la seconde la seconde : $\boxed{u(x\,;y)=(2x-y \,;\, x+y)} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{u(3\,;-2)=(8\,;1)}$

4. On résout $2x-y=0$ et $x+y=0$ : la seconde donne $y=-x$ , la première $3x=0$ . $\boxed{\mathrm{Ker}\, u=\{0_{E}\} \text{ : } u \text{ est un automorphisme de } \mathbb{R}^{2}.}$ D'après le chapitre 8, l'injectivité suffit puisque les deux espaces ont la même dimension.

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Thèmes

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Notions

matrices (espace des)