ExerciceMaths approfondies, chapitre 9 — Matrices · Matrice d'une application linéaire

Exercice 6

Calcul

Écrire la matrice de chacune des applications linéaires suivantes, les espaces étant munis de leurs bases canoniques.

1. $\begin{array}{r|ccl} u : & \mathbb{R}^{3} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (x\,;y\,;z) & \longmapsto & (x+y+z \,;\, x-y) \end{array}$

2. $\begin{array}{r|ccl} u : & \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{3} \\ & (x\,;y) & \longmapsto & (x-y \,;\, x+y \,;\, 2x) \end{array}$

3. $\begin{array}{r|ccl} u : & \mathbb{R}^{3} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{3} \\ & (x\,;y\,;z) & \longmapsto & (x-y \,;\, y-z \,;\, z-x) \end{array}$

4. $\begin{array}{r|ccl} u : & \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (x\,;y) & \longmapsto & (y \,;\, x) \end{array}$

Corrigé

On applique la règle : les colonnes sont les images des vecteurs de la base de départ, exprimées dans la base d'arrivée.

1. $u(1\,;0\,;0)=(1\,;1)$ , $u(0\,;1\,;0)=(1\,;-1)$ et $u(0\,;0\,;1)=(1\,;0)$ : $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}}$

2. $u(1\,;0)=(1\,;1\,;2)$ et $u(0\,;1)=(-1\,;1\,;0)$ : $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}}$

3. Les trois images se lisent sur les coefficients : $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

4. $u(1\,;0)=(0\,;1)$ et $u(0\,;1)=(1\,;0)$ : $\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$

Piège : la matrice d'une application de $\mathbb{R}^{3}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ a deux lignes et trois colonnes. Le nombre de colonnes est la dimension de l'espace de départ, celui des lignes la dimension de l'espace d'arrivée.

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