Exercice 12

On résout à chaque fois le système $AX=Y$, d'inconnues $x$ et $y$.

1. Le système $2x+y=a$, $x+y=b$ donne, par soustraction, $x=a-b$, puis $y=b-x=2b-a$. $$\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$ Vérification : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-1 & -2+2 \\ 1-1 & -1+2 \end{pmatrix}=I_{2}$ ✓

2. Le système $x+3y=a$, $2x+5y=b$ donne, par $L_{2} \leftarrow L_{2}-2L_{1}$, $-y=b-2a$, soit $y=2a-b$, puis $x=a-3y=-5a+3b$. $$\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}}$$

3. La deuxième ligne est le double de la première : le système $x+2y=a$, $2x+4y=b$ n'a de solution que si $b=2a$. $$\boxed{\text{La matrice n'est pas inversible.}}$$

4. Le système $y=a$, $x=b$ donne immédiatement la solution. $$\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=A}$$ Cette matrice est celle de la symétrie $(x\,;y) \mapsto (y\,;x)$ de l'exercice 6 : elle est bien sa propre réciproque.