Exercice 13

1. On développe les deux produits : $$A\widetilde{A}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-dc & -cb+da \end{pmatrix}=(ad-bc)\,I_{2}$$ et le calcul de $\widetilde{A}A$ donne le même résultat. $$\boxed{A\widetilde{A}=\widetilde{A}A=(ad-bc)\,I_{2}}$$

2. Si $ad-bc \neq 0$, on peut diviser : $$A \times \frac{1}{ad-bc}\widetilde{A}=\frac{1}{ad-bc}\widetilde{A} \times A=I_{2}$$

3. Supposons $ad-bc=0$ et $A$ inversible. La question 1 donne $A\widetilde{A}=0$, et en multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $$\widetilde{A}=A^{-1} \times 0=0$$ donc $a=b=c=d=0$, c'est-à-dire $A=0$. Or la matrice nulle n'est pas inversible : contradiction.

4. Les deux questions précédentes se rassemblent : $$\boxed{A \text{ est inversible si et seulement si } ad-bc \neq 0.}$$ On retrouve l'exercice 12 : les déterminants valent respectivement $2-1=1$, $5-6=-1$, $4-4=0$ et $0-1=-1$, ce qui confirme que seule la troisième matrice n'est pas inversible.