Exercice 14

1. Les égalités $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$ montrent que $A$ est un inverse de $A^{-1}$. L'inverse étant unique : $$\boxed{\big(A^{-1}\big)^{-1}=A}$$

2. On calcule, en utilisant l'associativité : $$(AB)\big(B^{-1}A^{-1}\big)=A\big(BB^{-1}\big)A^{-1}=AI_{n}A^{-1}=I_{n}$$ et de même dans l'autre ordre. Pour le contre-exemple, prenons $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ : $$AB=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{donc}\quad (AB)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \qquad\text{tandis que}\qquad A^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

3. En multipliant par $A^{-1}$ du bon côté : $$\boxed{AX=B \iff X=A^{-1}B \qquad\text{et}\qquad XA=B \iff X=BA^{-1}}$$

4. En multipliant l'égalité $M^{2}=M$ à gauche par $M^{-1}$ : $$M^{-1}M^{2}=M^{-1}M \qquad\text{soit}\qquad \boxed{M=I_{n}}$$ Autrement dit, le seul projecteur inversible est l'identité, comme au chapitre 7.

5. L'égalité $M \times M=I_{n}$ est exactement la définition de l'inversibilité, avec $B=M$. $$\boxed{M \text{ est inversible et } M^{-1}=M.}$$