Exercice 15

1. Les colonnes sont les images des vecteurs de la base canonique : $$\boxed{A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

2. Le système $AX=Y$ s'écrit $x+y=a$, $y+z=b$, $x+z=c$. En additionnant les trois lignes : $$2(x+y+z)=a+b+c \qquad\text{donc}\qquad x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$$ En retranchant successivement chacune des trois équations, il vient : $$z=\frac{-a+b+c}{2} \qquad x=\frac{a-b+c}{2} \qquad y=\frac{a+b-c}{2}$$

3. La matrice de $u$ étant inversible, la proposition 3 s'applique : $$\boxed{u \text{ est un automorphisme, et } u^{-1}(a\,;b\,;c)=\left(\frac{a-b+c}{2} \,;\, \frac{a+b-c}{2} \,;\, \frac{-a+b+c}{2}\right)}$$

4. On a $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, et le vecteur $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, non nul, vérifie $BX=0$.

Si $B$ était inversible, on aurait $X=B^{-1}(BX)=B^{-1}\times 0=0$, ce qui est faux. $$\boxed{B \text{ n'est pas inversible.}}$$

5. La proposition 3 conclut : $$\boxed{v \text{ n'est pas un automorphisme de } \mathbb{R}^{3}.}$$ On retrouve le chapitre 8 : cette application a pour noyau $\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;1)\big)$ et pour rang $2$, elle n'est donc ni injective ni surjective.